Ein Safe mit einer dreistelligen PIN aus den Ziffern 1, 2, 3 und 4 – das klingt nach einer einfachen Kombinatorikaufgabe. Doch die Tücke liegt im Detail: Der Geldschrank öffnet sich bereits, wenn zwei der drei Rädchen auf der richtigen Zahl stehen. Das reduziert die notwendigen Versuche drastisch. Während es insgesamt 64 mögliche Kombinationen gibt, reichen clevere Strategien aus, um den Safe weitaus schneller zu öffnen.
Die Ausgangslage
Die PIN besteht aus drei Stellen, jede Stelle kann eine der vier Ziffern 1, 2, 3 oder 4 sein. Normalerweise müsste man alle 64 Kombinationen durchprobieren, um sicher zu sein. Doch die Bedingung, dass bereits zwei richtige Ziffern an den richtigen Positionen genügen, erlaubt eine effizientere Vorgehensweise. Die Frage lautet: Wie viele Versuche sind mindestens nötig, um den Safe mit Sicherheit zu öffnen?
Eine erste Lösung mit zehn Versuchen
Eine einfache Strategie besteht aus zwei Schritten. Zunächst probiert man die vier Kombinationen 1-1-1, 2-2-2, 3-3-3 und 4-4-4. Enthält die PIN mindestens eine Ziffer doppelt, öffnet sich der Safe spätestens beim vierten Versuch. Bleibt er verschlossen, besteht die PIN aus drei verschiedenen Ziffern. Da die Ziffer 4 dann höchstens einmal vorkommt, konzentriert man sich auf die Ziffern 1, 2 und 3. Es gibt genau sechs Permutationen dieser drei Ziffern: 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1. Diese sechs Versuche garantieren den Erfolg. Insgesamt sind das 4 + 6 = 10 Versuche.
Noch besser: Acht Versuche
Eine raffiniertere Methode kommt mit nur acht Versuchen aus. Man beginnt mit 4-4-4. Öffnet sich der Safe nicht, kommt die Ziffer 4 höchstens einmal vor. Als Nächstes testet man die drei Kombinationen 4-3-3, 3-4-3 und 3-3-4. Bleibt der Safe zu, ist auch die Ziffer 3 höchstens einmal im Code enthalten, und die Ziffern 3 und 4 kommen nicht gemeinsam vor. Folglich müssen mindestens zwei der drei PIN-Ziffern 1 oder 2 sein. Nun wiederholt man das Muster: Man beginnt mit 1-1-1. Öffnet sich der Safe nicht, kann die 1 nur einmal vorkommen. Dann testet man 1-2-2, 2-1-2 und 2-2-1. Danach ist der Safe mit Sicherheit offen, denn alle möglichen Kombinationen mit mindestens zwei Zweien oder einer Eins und einer Zwei sind abgedeckt. Insgesamt sind das 4 + 4 = 8 Versuche.
Kann man es noch besser machen?
Die Frage, ob auch sieben oder weniger Versuche ausreichen, bleibt offen. Der Mathematiker Marc Ordower, auf dessen Idee dieses Rätsel basiert, hat gezeigt, dass acht Versuche optimal sind. Für Knobelfreunde: Versuchen Sie, eine Strategie mit weniger als acht Versuchen zu finden – und schreiben Sie uns Ihre Lösung.
Dieses Rätsel ist ein Beispiel dafür, wie logisches Denken und geschickte Strategie die Anzahl der notwendigen Versuche drastisch reduzieren können. Viel Spaß beim Tüfteln!
