Glück hilft, um ein Spiel zu gewinnen. Aber eine gute Strategie ist ebenso wichtig. Bei dem folgenden Spiel geht es um die optimale Zugreihenfolge: Zwei Personen ziehen abwechselnd je eine Kugel aus einem Sack mit 20 Kugeln. 19 davon sind schwarz lackiert, eine ist weiß. Wer die weiße Kugel zieht, gewinnt. Die Frage: Ist es besser, als Erster oder als Zweiter zu ziehen?
Die scheinbare Lösung: Zweiter Zug ist vorteilhaft
Ein klassischer Denkfehler liegt nahe: Die beginnende Person zieht mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/20 die weiße Kugel. Bei der zweiten Person beträgt die Wahrscheinlichkeit vermeintlich 1/19, weshalb sie höhere Gewinnchancen habe. Doch diese Rechnung ist unvollständig. Die Wahrscheinlichkeit für Person eins ist korrekt. Bei Person zwei gibt 1/19 jedoch die Wahrscheinlichkeit an, unter der Bedingung, dass Person eins die weiße Kugel nicht gezogen hat. Diese bedingte Wahrscheinlichkeit muss mit 19/20 multipliziert werden. Dann ergibt sich auch für Person zwei: p = 1/19 * 19/20 = 1/20.
Gleiche Chancen in jeder Runde
Die Wahrscheinlichkeiten, dass eine der beiden Personen in der ersten Runde die weiße Kugel zieht, sind daher gleich groß. Dies gilt analog für alle weiteren Runden bis zur zehnten und letzten Runde. Ein eleganter Beweis: Stellt man sich vor, die 20 Kugeln werden zufällig in eine Reihe gelegt, und die Spieler nehmen beginnend von vorne immer die nächste Kugel. Nummeriert man die Kugeln von 1 (ganz vorne) bis 20 (ganz hinten), erhält Spieler eins (der zuerst zieht) die Kugeln 1, 3, 5, …, 19 – also alle ungeradzahligen, das sind zehn. Spieler zwei erhält die Kugeln 2, 4, 6, …, 20 – alle geradzahligen, ebenfalls zehn. Da die weiße Kugel zufällig platziert ist, hat jede Position die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Nummer ist genauso groß wie für eine ungerade, nämlich p = 1/2. Somit gewinnen beide Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent.
Fazit: Die Wahl des Zuges ist egal
Entdeckt hat dieses Rätsel der US-Mathematiker Marc Ordower auf seinem Instagram-Kanal. Die überraschende Erkenntnis: Es spielt keine Rolle, ob man die erste oder die zweite Kugel zieht. Die Gewinnchancen sind für beide Spieler identisch. Dieses Beispiel zeigt, wie wichtig eine sorgfältige Wahrscheinlichkeitsanalyse ist, um Fehlschlüsse zu vermeiden.
