Rätsel der Woche: Periodische Zahl als Bruch
In der Welt der Zahlen gibt es viele verschiedene Typen: rationale, irrationale, reelle und periodische Zahlen. Ein aktuelles Rätsel beschäftigt sich mit einer besonderen periodischen Dezimalzahl. Es geht um die Zahl 0,123456789123456789..., bei der die Ziffernfolge 123456789 unendlich oft nach dem Komma wiederholt wird. Die zentrale Frage lautet: Lässt sich diese Zahl als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen? Anders ausgedrückt: Gibt es ganze Zahlen a und b, sodass a/b = 0,123456789... gilt?
Die Lösung des Rätsels
Ja, diese periodische Dezimalzahl ist eine rationale Zahl und kann als Bruch geschrieben werden. Die Darstellung lautet:
0,123456789... = 123.456.789 / 999.999.999
Durch Kürzen mit 9 ergibt sich der vereinfachte Bruch:
0,123456789... = 13.717.421 / 111.111.111
Warum funktioniert dieser Trick?
Das Prinzip beruht auf einer einfachen mathematischen Methode. Betrachten wir eine periodische Zahl x mit einer Periode der Länge n, die aus der natürlichen Zahl p besteht. Es gilt:
x = 0,pppp...
Multipliziert man diese Gleichung mit 10^n, erhält man:
10^n * x = p + x
Durch Umstellen nach x ergibt sich:
x = p / (10^n – 1)
Hierbei ist 10^n – 1 eine Zahl, die aus n Neunen besteht. Somit kann jede periodische Dezimalzahl mit einer Periode p als Bruch dargestellt werden. Im vorliegenden Fall ist n = 9 und p = 123456789, was zu dem genannten Bruch führt.
Weitere Informationen
Dieses Rätsel stammt von Holger Dambeck, der regelmäßig mathematische Knobeleien veröffentlicht. Für alle, die weitere Herausforderungen suchen, gibt es eine Sammlung früherer Rätsel wie „Radius gesucht“, „Können Sie mit Brüchen rechnen?“ oder „Zwei Halbkreise und eine Tangente“. Diese finden Sie in den Archiven der vergangenen Wochen.
