Das Flächenverhältnis von blauem zu rotem Quadrat in zwei identischen rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecken beträgt 8/9. Diese Lösung ergibt sich aus einer geschickten Zerlegung der Dreiecke in kleinere gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke, wie Holger Dambeck in seiner wöchentlichen Rätselkolumne erklärt.
Die Ausgangssituation
Zwei gleich große rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke enthalten jeweils ein Quadrat. Im roten Dreieck liegen zwei Seiten des Quadrats auf den Katheten des Dreiecks. Im blauen Dreieck hingegen liegt nur eine Seite des Quadrats auf der Basis des Dreiecks. Die Aufgabe: Bestimmen Sie das Verhältnis der Fläche des blauen Quadrats zur Fläche des roten Quadrats.
Lösungsweg ohne Rechnerei
Die Lösung kommt ohne algebraische Berechnungen aus, indem man die Dreiecke in kleinere gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke aufteilt. Beim roten Quadrat ergibt die Zerlegung vier kleine Dreiecke, von denen zwei das rote Quadrat bilden. Somit belegt das rote Quadrat genau die Hälfte des großen Dreiecks. Beim blauen Quadrat erhält man neun gleich große Dreiecke, wobei sich das blaue Quadrat aus vier dieser Dreiecke zusammensetzt. Der Anteil der blauen Fläche am großen Dreieck beträgt daher 4/9.
Berechnung des Verhältnisses
Das gesuchte Flächenverhältnis Blau zu Rot ergibt sich aus (4/9) / (1/2) = 8/9. Dieses Ergebnis bestätigt die geometrische Intuition: Das blaue Quadrat ist etwas kleiner als das rote. Die Entdeckung dieses Rätsels wird der Facebook-Gruppe „Geometria Super Top“ zugeschrieben.
Weitere mathematische Herausforderungen
Dieses Rätsel ist Teil einer Serie, die regelmäßig erscheint. Vergangene Folgen behandelten unter anderem 19 schwarze Kugeln und eine weiße, eine Münze und drei Frauen, sowie Brüche und Gleichungen. Leser können ihre mathematischen Fähigkeiten mit diesen kniffligen Problemen testen.
